Résoudre une équation de la forme X² = a (leçon) | Khan Academy (2024)

Comment résoudre des équations du type x^2=36 ou (x-2)^2=49.

Prérequis :

  • Racines carrées
  • Identités remarquables

Le sujet traité

Jusqu'à présent vous avez résolu des équations du premier degré. Dans ces équations ne figurent que des termes en x et des constantes.

Cette leçon est la première d'une série de leçons sur les équations du second degré. Une équation est du second degré s'il y figure au moins un terme en x2.

Voici des exemples d'équations du second degré :

x2=36

(x2)2=49

C'est déroutant de ne pas voir de terme en x2. Cependant, si on regarde bien, l'expression (x2)2 contient bien un x au carré.

Il suffit de développer le carré entre parenthèses pour s'en convaincre.

(x2)2=49x24x+4=49

Et on voit bien le terme en x2, c'est donc bien une équation du second degré.

2x2+3=131

La première est de la forme x2=a2, la deuxième est de la forme (xa)2=b2 et la troisième se ramène à une équation de la forme x2=a2. La résolution de ce type d'équation du second degré est simple.

La résolution des équations du type x2=36

Résoudre l'équation x2=36 signifie trouver le ou les nombres dont le carré est 36.

On applique le théorème : x2=a2 équivaut à x=a ou x=a.

Voici la résolution de l'équation :

éàéàx2=36équivaut àx2=62x2=62équivaut àx=6oux=6les solutions sontx=6etx=6oux=±6

Une recommandation et une observation :

Une recommandation

Pour résoudre une équation de la forme x2=a2, le bon réflexe est d'écrire x2=a2 équivaut à x=a ou x=a.

Une équation de ce type a deux solutions.

Il est possible d'utiliser le signe ±

Il y a deux nombres dont le carré est a2 : a et son opposé a. Dans cet exemple, les deux nombres dont le carré est 36 sont 6 et 6. Ce sont les deux solutions de l'équation x2=36.

Le symbole ± est un raccourci commode pour noter deux nombres opposés. Par exemple, ±6 signifie 6 et 6. On écrira que les solutions de l'équation x2=36 sont ±6.

À vous !

Exercice 1

Résoudre x2=16.

x=±

Exercice 2

Résoudre x2=81.

x=±

Exercice 3

Les solutions de l'équation x2=5 sont :

Choisissez une seule réponse:

Choisissez une seule réponse:

  • x=±5

  • x=±5

  • x=±25

La résolution des équations du type (x2)2=49

Voici une méthode pour résoudre l'équation (x2)2=49 :

éàéàéà(x2)2=49équivaut à(x2)2=72(x2)2=72équivaut àx2=7oux2=7x2=7oux2=7équivaut àx=9oux=5

Il y a donc deux solutions x=9 et x=5.

Une recommandation et une observation :

Une recommmandation

Pour résoudre une équation de la forme X2=a2, le bon réflexe est d'appliquer le théorème X2=a2 équivaut à X=a ou X=a.

Une observation

Il y a deux équations du 1er degré à résoudre : x2=7 et x2=7.

Il y a deux solutions x=9 et x=5.

La vérification :

x=9x=5
(92)2=?4972=?4949=49(52)2=?49(7)2=?4949=49

Dans les deux cas, l'équation est vérifiée, donc elles sont bien, toutes deux, solutions de l'équation.

À vous !

Exercice 4

Les solutions de l'équation (x+3)2=25 sont :

Choisissez une seule réponse:

Choisissez une seule réponse:

  • x=2 et x=8

  • x=±2

  • x=2 et x=8

  • x=±5

Exercice 5

Les solutions de l'équation (2x1)2=9 sont :

Choisissez une seule réponse:

Choisissez une seule réponse:

  • x=±3

  • x=2 et x=1

  • x=4 et x=2

  • x=5 et x=4

Exercice 6

Les solutions de l'équation (x5)2=7 sont :

Choisissez une seule réponse:

Choisissez une seule réponse:

  • x=7+5 et x=7+5

  • x=7+5 et x=75

  • x=5+7 et x=5+7

  • x=12 et x=2

Pourquoi ne pas développer pour enlever les parenthèses ?

On reprend l'exemple de l'équation (x2)2=49 et on développe le carré pour supprimer les parenthèses (comme on le fait d'habitude dans une équation du premier degré).

On obtient :

x24x+4=49

Et maintenant ? On peut écrire que x24x=45. Mais ensuite la racine carrée du premier membre est x24x et on ne peut pas écrire autrement cette racine carrée.

On a réussi -facilement- à résoudre l'équation (x2)2=49, alors que l'on ne sait pas (pas encore) résoudre l'équation x24x+4=49. Donc ce n'était pas avisé de développer.

En règle générale, il faut toujours conserver les carrés ou les produits de facteurs dans une équation du second degré.

La résolution des équations du type 2x2+3=131

Cette équation n'est pas sous la forme x2=a2, mais on peut la mettre sous cette forme.

Pour cela, on isole x2 :

2x2+3=1312x2=128x2=64x2=82x=8oux=8

À vous !

Exercice 7

Les solutions de l'équation 3x27=5 sont :

Choisissez une seule réponse:

Choisissez une seule réponse:

  • x=2 et x=6

  • x=±6

  • x=6 et x=2

  • x=±2

Exercice 8

Les solutions de l'équation 4(x1)2+2=38 sont :

Choisissez une seule réponse:

Choisissez une seule réponse:

  • x=2 et x=1

  • x=±3

  • x=4 et x=2

  • x=±6

Un dernier exercice

Les solutions de l'équation x2+8x+16=9 sont :

Choisissez une seule réponse:

Choisissez une seule réponse:

  • x=11 et x=5

  • x=1 et x=7

Résoudre une équation de la forme X² = a (leçon) | Khan Academy (2024)
Top Articles
Latest Posts
Article information

Author: Dean Jakubowski Ret

Last Updated:

Views: 5900

Rating: 5 / 5 (70 voted)

Reviews: 85% of readers found this page helpful

Author information

Name: Dean Jakubowski Ret

Birthday: 1996-05-10

Address: Apt. 425 4346 Santiago Islands, Shariside, AK 38830-1874

Phone: +96313309894162

Job: Legacy Sales Designer

Hobby: Baseball, Wood carving, Candle making, Jigsaw puzzles, Lacemaking, Parkour, Drawing

Introduction: My name is Dean Jakubowski Ret, I am a enthusiastic, friendly, homely, handsome, zealous, brainy, elegant person who loves writing and wants to share my knowledge and understanding with you.